Meaning: あらゆる手段を使って、全力で戦う/努力する
For Example:
‣ I really want to win this piano competition, so I'm gonna fight tooth and nail for it!
このピアノのコンテスト絶対に優勝したいけん、全力でやるで！
‣ Attorneys fought tooth and nail to claim for civil rights for their clients.
弁護士はクライアントの為に市民権を主張する為、一生懸命手を尽くした。
Synonym:
to fight intensively, to compete for something ferociously